Algebra funkcyjna

Algebra funkcyjna (albo algebra jednostajna) – algebra Banacha $A$ będąca domkniętą podalgebrą algebry $C^{b}(K)$ wszystkich ograniczonych funkcji ciągłych określonych na przestrzeni regularnej $K$ z normą supremum, która zawiera funkcje stałe oraz rozdziela punkty w $K$ (tzn. dla pary różnych punktów $x$ i $y$ przestrzeni $K$ istnieje taka funkcja $f$ z algebry $A,$ że $f(x)\neq f(y)$). W przypadku, gdy $K$ jest przestrzenią zwartą, to każda funkcja ciągła na $K$ jest ograniczona oraz algebra $C^{b}(K),$ oznaczana w tym przypadku krótko przez $C(K)$ ma jedynkę.

Przykłady

Niech $K$ będzie zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej.

• Niech $P(K)$ i $R(K)$ oznaczają domknięcie w $C(K)$ algebr złożonych, odpowiednio, z wielomianów i funkcji wymiernych na $K.$ Algebry $P(K)$ i $R(K)$ są przykładami algebr funkcyjnych.
• Klasycznym przykładem algebry funkcyjnej jest algebra $A(K)$ złożona ze wszystkich funkcji ciągłych na $K,$ które są holomorficzne we wnętrzu $K.$ Gdy $K$ jest domkniętym kołem jednostkowym na płaszczyźnie, algebra $A(K)$ nazywana jest algebrą dyskową.

Zobacz też

• brzeg Szyłowa
• twierdzenie Stone’a-Weierstrassa

Bibliografia

• H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000, s. 447–457.

Linki zewnętrzne

• Uniform algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].